Beispiel Gleit Durchschnitt Prognose

OR-Notes sind eine Reihe von einleitenden Notizen zu Themen, die unter die breite Überschrift des Bereichs Operations Research (OR) fallen. Sie wurden ursprünglich von mir in einem einleitenden ODER Kurs benutzt, den ich im Imperial College gebe. Sie sind jetzt für alle Schüler und Lehrer, die an ODER unter den folgenden Bedingungen interessiert sind, zur Verfügung. Eine vollständige Liste der in OR-Notes verfügbaren Themen finden Sie hier. Prognosebeispiele Prognosebeispiel 1996 UG-Prüfung Die Nachfrage nach einem Produkt in jedem der letzten fünf Monate ist nachfolgend dargestellt. Verwenden Sie einen zweimonatigen gleitenden Durchschnitt, um eine Prognose für die Nachfrage im Monat 6 zu generieren. Wenden Sie eine exponentielle Glättung mit einer Glättungskonstante von 0,9 an, um eine Prognose für die Nachfrage nach Nachfrage im Monat 6 zu generieren. Welche dieser beiden Prognosen bevorzugen Sie und warumDie zweimonatigen Umzugsweisen Durchschnitt für Monate zwei bis fünf ist gegeben durch: Die Prognose für den Monat sechs ist nur der gleitende Durchschnitt für den Monat vor, dass dh der gleitende Durchschnitt für Monat 5 m 5 2350. Anwenden exponentielle Glättung mit einer Glättung Konstante von 0,9 erhalten wir: Wie zuvor Die Prognose für den Monat sechs ist nur der Durchschnitt für den Monat 5 M 5 2386 Um die beiden Prognosen zu vergleichen, berechnen wir die mittlere quadratische Abweichung (MSD). Wenn wir dies tun, finden wir für den gleitenden Mittelwert MSD (15 - 19) sup2 (18 - 23) sup2 (21 - 24) sup23 16.67 und für den exponentiell geglätteten Durchschnitt mit einer Glättungskonstante von 0,9 MSD (13 - 17) sup2 (16,60 - 19) sup2 (18.76 - 23) sup2 (22.58 - 24) sup24 10.44 Insgesamt sehen wir dann, dass die exponentielle Glättung den besten einen Monat voraus prognostiziert, da es eine niedrigere MSD hat. Daher bevorzugen wir die Prognose von 2386, die durch exponentielle Glättung erzeugt wurde. Prognosebeispiel 1994 UG-Prüfung Die nachstehende Tabelle zeigt die Nachfrage nach einem neuen Aftershave in einem Shop für jeden der letzten 7 Monate. Berechnen Sie einen zweimonatigen gleitenden Durchschnitt für Monate zwei bis sieben. Was wäre Ihre Prognose für die Nachfrage in Monat acht Bewerben exponentielle Glättung mit einer Glättung Konstante von 0,1, um eine Prognose für die Nachfrage in Monat acht ableiten. Welche der beiden Prognosen für den Monat acht bevorzugen Sie und warum der Ladenbesitzer glaubt, dass die Kunden auf diese neue Aftershave von anderen Marken wechseln. Besprechen Sie, wie Sie dieses Schaltverhalten modellieren und die Daten angeben, die Sie benötigen, um zu bestätigen, ob diese Umschaltung erfolgt oder nicht. Die zwei Monate gleitenden Durchschnitt für die Monate zwei bis sieben ist gegeben durch: Die Prognose für den Monat acht ist nur der gleitende Durchschnitt für den Monat vor, dass dh die gleitenden Durchschnitt für Monat 7 m 7 46. Anwendung exponentielle Glättung mit einer Glättung Konstante von 0,1 wir Erhalten: Wie schon vor der Prognose für den Monat acht ist nur der Durchschnitt für den Monat 7 M 7 31,11 31 (da wir keine gebrochene Nachfrage haben können). Um die beiden Prognosen zu vergleichen, berechnen wir die mittlere quadratische Abweichung (MSD). Wenn wir dies tun, finden wir das für den gleitenden Durchschnitt und für den exponentiell geglätteten Durchschnitt mit einer Glättungskonstante von 0,1 Insgesamt sehen wir dann, dass der zweimonatige gleitende Durchschnitt den besten einen Monat voraus prognostiziert, da er eine niedrigere MSD hat. Daher bevorzugen wir die Prognose von 46, die durch den zweimonatigen gleitenden Durchschnitt produziert wurde. Um das Umschalten zu untersuchen, müssten wir ein Markov-Prozessmodell verwenden, in dem die Ländermarken und die notwendigen Statusinformationen und Kundenwechselwahrscheinlichkeiten (aus Umfragen) benötigt werden. Wir müssten das Modell auf historische Daten ausführen, um zu sehen, ob wir zwischen dem Modell und dem historischen Verhalten passen. Prognosebeispiel 1992 UG-Prüfung Die nachstehende Tabelle zeigt die Nachfrage nach einer bestimmten Marke von Rasiermesser in einem Geschäft für jeden der letzten neun Monate. Berechnen Sie einen dreimonatigen gleitenden Durchschnitt für Monate drei bis neun. Was wäre Ihre Prognose für die Nachfrage in Monat zehn Bewerben exponentielle Glättung mit einer Glättung Konstante von 0,3, um eine Prognose für die Nachfrage in Monat zehn ableiten. Welche der beiden Prognosen für den Monat zehn bevorzugen Sie und warum Der dreimonatige gleitende Durchschnitt für die Monate 3 bis 9 ist gegeben durch: Die Prognose für den Monat 10 ist nur der gleitende Durchschnitt für den Monat vor dem dh der gleitende Durchschnitt für Monat 9 m 9 20.33. Daher ist die Prognose für den Monat 10. 20. Die Anwendung einer exponentiellen Glättung mit einer Glättungskonstante von 0,3 ergibt sich: Wie vorher ist die Prognose für den Monat 10 nur der Durchschnitt für den Monat 9 M 9 18,57 19 (wie wir Kann keine gebrochene Nachfrage haben). Um die beiden Prognosen zu vergleichen, berechnen wir die mittlere quadratische Abweichung (MSD). Wenn wir dies tun, finden wir das für den gleitenden Durchschnitt und für den exponentiell geglätteten Durchschnitt mit einer Glättungskonstante von 0,3 Insgesamt sehen wir dann, dass der dreimonatige gleitende Durchschnitt den besten einen Monat voraus prognostiziert, da er eine niedrigere MSD hat. Daher bevorzugen wir die Prognose von 20, die durch den dreimonatigen gleitenden Durchschnitt produziert wurde. Vorhersage Beispiel 1991 UG Prüfung Die folgende Tabelle zeigt die Nachfrage nach einer bestimmten Marke von Faxgerät in einem Kaufhaus in jedem der letzten zwölf Monate. Berechnen Sie den viermonatigen gleitenden Durchschnitt für die Monate 4 bis 12. Was wäre Ihre Prognose für die Nachfrage im Monat 13 Bewerben Sie exponentielle Glättung mit einer Glättungskonstante von 0,2, um eine Prognose für die Nachfrage im Monat 13 abzuleiten. Welche der beiden Prognosen für den Monat 13 Bevorzugen Sie und warum Welche anderen Faktoren, die in den obigen Berechnungen nicht berücksichtigt wurden, könnten die Nachfrage nach dem Faxgerät im Monat 13 beeinflussen. Der viermonatige gleitende Durchschnitt für die Monate 4 bis 12 ist gegeben durch: m 4 (23 19 15 12) 4 17,25 m 5 (27 23 19 15) 4 21 m 6 (30 27 23 19) 4 24,75 m 7 (32 30 27 23) 4 28 m 8 (33 32 30 27) 4 30,5 m 9 (37 33 32 30) 4 33 m 10 (41 37 33 32) 4 35,75 m 11 (49 41 37 33) 4 40 m 12 (58 49 41 37) 4 46,25 Die Prognose für den Monat 13 ist nur der gleitende Durchschnitt für den Monat davor, dh der gleitende Durchschnitt Für Monat 12 m 12 46,25. Daher ist die Prognose für den Monat 13 46. Die Anwendung einer exponentiellen Glättung mit einer Glättungskonstante von 0,2 erhalten wir: Wie vorher ist die Prognose für den Monat 13 nur der Durchschnitt für den Monat 12 M 12 38,618 39 (wie wir Kann keine gebrochene Nachfrage haben). Um die beiden Prognosen zu vergleichen, berechnen wir die mittlere quadratische Abweichung (MSD). Wenn wir dies tun, finden wir das für den gleitenden Durchschnitt und für den exponentiell geglätteten Durchschnitt mit einer Glättungskonstante von 0,2 Insgesamt sehen wir dann, dass der viermonatige gleitende Durchschnitt den besten einen Monat voraus prognostiziert, da er eine niedrigere MSD hat. Daher bevorzugen wir die Prognose von 46, die durch den viermonatigen gleitenden Durchschnitt produziert wurde. Saisonale Nachfrage Werbung Preisänderungen, sowohl diese Marke und andere Marken allgemeine wirtschaftliche Situation neue Technologie Vorhersage Beispiel 1989 UG Prüfung Die Tabelle unten zeigt die Nachfrage nach einer bestimmten Marke von Mikrowellenherd in einem Kaufhaus in jedem der letzten zwölf Monate. Berechnen Sie einen sechsmonatigen gleitenden Durchschnitt für jeden Monat. Was wäre Ihre Prognose für die Nachfrage in Monat 13 Bewerben exponentielle Glättung mit einer Glättung Konstante von 0,7, um eine Prognose für die Nachfrage im Monat 13. Eine der beiden Prognosen für Monat 13 bevorzugen Sie und warum Jetzt können wir nicht berechnen, eine sechs Monat gleitenden Durchschnitt, bis wir mindestens 6 Beobachtungen haben - dh wir können nur einen solchen Durchschnitt ab dem 6. Monat berechnen. Wir haben also: m 6 (34 32 30 29 31 27) 6 30,50 m 7 (36 34 32 30 29 31) 6 32,00 m 8 (35 36 34 32 30 29) 6 32,67 m 9 (37 35 36 34 32 30) 6 34,00 m 10 (39 37 35 36 34 32) 6 35,50 m 11 (40 39 37 35 36 34) 6 36,83 m 12 (42 40 39 37 35 36) 6 38,17 Die Prognose für den Monat 13 ist nur der gleitende Durchschnitt für die Monat vor dem dh der gleitende Durchschnitt für Monat 12 m 12 38,17. Daher ist die Prognose für den Monat 13 bei 38. Die Anwendung einer exponentiellen Glättung mit einer Glättungskonstante von 0,7 ergibt sich: In der Praxis wird der gleitende Durchschnitt eine gute Schätzung des Mittelwerts der Zeitreihen liefern, wenn der Mittelwert ist Konstant oder langsam wechselnd Im Falle eines konstanten Mittels wird der größte Wert von m die besten Schätzungen des zugrunde liegenden Mittels geben. Eine längere Beobachtungsperiode wird die Effekte der Variabilität ausgleichen. Der Zweck der Bereitstellung eines kleineren m ist es, die Prognose auf eine Änderung des zugrunde liegenden Prozesses zu reagieren. Zur Veranschaulichung schlagen wir einen Datensatz vor, der Änderungen des zugrunde liegenden Mittels der Zeitreihen beinhaltet. Die Figur zeigt die Zeitreihen, die für die Illustration verwendet wurden, zusammen mit der mittleren Nachfrage, aus der die Serie erzeugt wurde. Der Mittelwert beginnt als Konstante bei 10. Beginnend um die Zeit 21 erhöht er sich in jeder Periode um eine Einheit, bis er zum Zeitpunkt 30 den Wert von 20 erreicht. Dann wird er wieder konstant. Die Daten werden durch Addition des Mittelwertes, eines zufälligen Rauschens aus einer Normalverteilung mit Nullmittelwert und Standardabweichung simuliert. 3. Die Ergebnisse der Simulation werden auf die nächste ganze Zahl gerundet. Die Tabelle zeigt die simulierten Beobachtungen für das Beispiel. Wenn wir den Tisch benutzen, müssen wir uns daran erinnern, dass zu irgendeiner Zeit nur die bisherigen Daten bekannt sind. Die Schätzungen des Modellparameters, für drei verschiedene Werte von m werden zusammen mit dem Mittelwert der Zeitreihen in der folgenden Abbildung dargestellt. Die Figur zeigt die gleitende durchschnittliche Schätzung des Mittelwertes zu jeder Zeit und nicht die Prognose. Die Prognosen würden die gleitenden Durchschnittskurven nach Perioden nach rechts verschieben. Aus der Figur ergibt sich sofort eine Schlussfolgerung. Für alle drei Schätzungen liegt der gleitende Durchschnitt hinter dem linearen Trend zurück, wobei die Verzögerung mit m zunimmt. Die Verzögerung ist der Abstand zwischen dem Modell und der Schätzung in der Zeitdimension. Wegen der Verzögerung unterschätzt der gleitende Durchschnitt die Beobachtungen, wenn der Mittelwert zunimmt. Die Vorspannung des Schätzers ist die Differenz zu einer bestimmten Zeit im Mittelwert des Modells und der durch den gleitenden Durchschnitt vorhergesagte Mittelwert. Die Vorspannung, wenn der Mittelwert zunimmt, ist negativ. Für ein abnehmendes Mittel ist die Vorspannung positiv. Die Verzögerung in der Zeit und die Vorspannung, die in der Schätzung eingeführt werden, sind Funktionen von m. Je größer der Wert von m. Je größer die Größe der Verzögerung und der Vorspannung ist. Für eine stetig wachsende Serie mit Trend a. Die Werte der Verzögerung und der Vorspannung des Schätzers des Mittels sind in den nachstehenden Gleichungen angegeben. Die Beispielkurven stimmen nicht mit diesen Gleichungen überein, weil das Beispielmodell nicht kontinuierlich zunimmt, sondern es beginnt als Konstante, ändert sich zu einem Trend und wird dann wieder konstant. Auch die Beispielkurven sind vom Lärm betroffen. Die gleitende durchschnittliche Prognose der Perioden in die Zukunft wird durch die Verschiebung der Kurven nach rechts dargestellt. Die Verzögerung und die Bias steigen proportional an. Die nachfolgenden Gleichungen zeigen die Verzögerung und die Vorspannung einer Prognoseperiode in die Zukunft im Vergleich zu den Modellparametern. Wiederum sind diese Formeln für eine Zeitreihe mit einem konstanten linearen Trend. Wir sollten uns über dieses Ergebnis nicht wundern. Der gleitende durchschnittliche Schätzer beruht auf der Annahme eines konstanten Mittels, und das Beispiel hat einen linearen Trend im Mittel während eines Teils des Untersuchungszeitraums. Da Echtzeit-Serien den Annahmen eines Modells nur selten gehorchen, sollten wir auf solche Ergebnisse vorbereitet sein. Wir können auch aus der Figur schließen, dass die Variabilität des Rauschens die größte Wirkung für kleinere m hat. Die Schätzung ist viel volatiler für den gleitenden Durchschnitt von 5 als der gleitende Durchschnitt von 20. Wir haben die widersprüchlichen Wünsche, m zu erhöhen, um den Effekt der Variabilität aufgrund des Rauschens zu reduzieren und m zu reduzieren, um die Prognose besser auf Veränderungen zu reagieren Im gemein Der Fehler ist die Differenz zwischen den tatsächlichen Daten und dem prognostizierten Wert. Ist die Zeitreihe wirklich ein konstanter Wert, so ist der erwartete Wert des Fehlers Null und die Varianz des Fehlers besteht aus einem Begriff, der eine Funktion und ein zweiter Term ist, der die Varianz des Rauschens ist. Der erste Term ist die Varianz des Mittelwertes, der mit einer Stichprobe von m Beobachtungen geschätzt wird, vorausgesetzt, die Daten stammen aus einer Population mit einem konstanten Mittelwert. Dieser Begriff wird minimiert, indem man m so groß wie möglich macht. Eine große m macht die Prognose nicht mehr auf eine Veränderung der zugrunde liegenden Zeitreihen. Um die Prognose auf Veränderungen zu reagieren, wollen wir m so klein wie möglich (1), aber das erhöht die Fehlerabweichung. Die praktische Vorhersage erfordert einen Zwischenwert. Vorhersage mit Excel Das Prognose-Add-In implementiert die gleitenden durchschnittlichen Formeln. Das folgende Beispiel zeigt die Analyse, die durch das Add-In für die Beispieldaten in Spalte B bereitgestellt wird. Die ersten 10 Beobachtungen sind indiziert -9 bis 0. Im Vergleich zur obigen Tabelle werden die Periodenindizes um -10 verschoben. Die ersten zehn Beobachtungen liefern die Startwerte für die Schätzung und werden verwendet, um den gleitenden Durchschnitt für die Periode 0 zu berechnen. Die MA (10) - Spalte (C) zeigt die berechneten Bewegungsdurchschnitte. Der gleitende Mittelwert m befindet sich in der Zelle C3. Die Fore (1) Spalte (D) zeigt eine Prognose für einen Zeitraum in die Zukunft. Das Prognoseintervall befindet sich in Zelle D3. Wenn das Prognoseintervall auf eine größere Zahl geändert wird, werden die Zahlen in der Spalte Fore nach unten verschoben. Die Err (1) Spalte (E) zeigt den Unterschied zwischen Beobachtung und Prognose. Zum Beispiel ist die Beobachtung zum Zeitpunkt 1 gleich 6. Der prognostizierte Wert aus dem gleitenden Durchschnitt zum Zeitpunkt 0 beträgt 11,1. Der Fehler ist dann -5.1. Die Standardabweichung und die mittlere Durchschnittsabweichung (MAD) werden in den Zellen E6 und E7 berechnet.8.4 Bewegliche durchschnittliche Modelle Anstatt vergangene Werte der Prognosemenge in einer Regression zu verwenden, verwendet ein gleitendes Durchschnittsmodell vergangene Prognosefehler in einem regressionsähnlichen Modell . Y c et theta e theta e dots theta e, wo et ist weißes Rauschen. Wir bezeichnen dies als MA (q) Modell. Natürlich beobachten wir nicht die Werte von et, also ist es nicht wirklich Regression im üblichen Sinne. Beachten Sie, dass jeder Wert von yt als ein gewichteter gleitender Durchschnitt der letzten Prognosefehler gedacht werden kann. Allerdings sollten die gleitenden durchschnittlichen Modelle nicht mit der gleitenden durchschnittlichen Glättung verwechselt werden, die wir in Kapitel 6 besprochen haben. Ein gleitendes Durchschnittsmodell wird für die Prognose zukünftiger Werte verwendet, während die durchschnittliche Glättung für die Schätzung des Trendzyklus vergangener Werte verwendet wird. Abbildung 8.6: Zwei Beispiele von Daten aus bewegten Durchschnittsmodellen mit unterschiedlichen Parametern. Links: MA (1) mit y t 20e t 0.8e t-1. Rechts: MA (2) mit y t e t - e t-1 0.8e t-2. In beiden Fällen ist e t normal verteilt weißes Rauschen mit mittlerem Null und Varianz eins. Abbildung 8.6 zeigt einige Daten aus einem MA (1) Modell und einem MA (2) Modell. Das Ändern der Parameter theta1, punkte, thetaq führt zu unterschiedlichen zeitreihenmustern. Wie bei autoregressiven Modellen wird die Varianz des Fehlerbegriffs nur den Maßstab der Serie ändern, nicht die Muster. Es ist möglich, jedes stationäre AR (p) Modell als MA (Infty) Modell zu schreiben. Zum Beispiel können wir mit wiederholter Substitution dies für ein AR (1) - Modell nachweisen: begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 e et amph phi13y phi12e phi1 e et amptext endgesetzt -1 lt phi1 lt 1, der Wert von phi1k wird kleiner, wenn k größer wird. So erhalten wir schließlich yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, ein MA (infty) Prozess. Das umgekehrte Ergebnis gilt, wenn wir den MA-Parametern einige Einschränkungen auferlegen. Dann heißt das MA-Modell invertierbar. Das heißt, dass wir einen invertierbaren MA (q) Prozess als AR (Infty) Prozess schreiben können. Invertible Modelle sind nicht einfach, damit wir von MA Modellen in AR Modelle umwandeln können. Sie haben auch einige mathematische Eigenschaften, die sie in der Praxis leichter machen können. Die Invertierbarkeitsbeschränkungen ähneln den stationären Einschränkungen. Für ein MA (1) Modell: -1lttheta1lt1. Für ein MA (2) Modell: -1ltθ2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - θ2 lt 1. Kompliziertere Bedingungen gelten für qge3. Auch hier wird R auf diese Einschränkungen bei der Schätzung der Modelle aufpassen.